| 1. | Les miroirs plans. |
| 2. | Formes et croissance. |
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| 4. | Les miroirs sphériques. |
Il s'agit de construire l'image d'un point objet dans un miroir, des rayons et des faisceaux incidents et réfléchis.
La commande dévolue à cette tache s'écrit : \MiroirPlan(A)(M1)(M2){A'}.
Cette application est, pour l'instant, indépendante de pst-optic et tout aussi provisoirement, elle utilise (en partie) pst-3d. Il est probable que très prochainement je détache les deux petits modules de pst-3d qui servent ici, pour en faire une extension vraiment indépendante. J'ai calqué cette commande sur \psTilt, je n'ai pas vraiment compris tout ce que j'ai fait, mais ce qui m'importe c'est que ça marche bien. Cela démontre, encore une fois, l'excellent travail effectué par Timothy van Zandt .
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,7)
Dans son livre Forme et croissance, D'Arcy Thompson propose « une analyse des phénomènes biologiques sous leurs aspects mathématiques (la géométrie des formes) et physiques (le jeu des forces) ». Dans le chapitre La théorie des transformations ou la comparaison des formes apparentées, il étudie certaines variétés de poissons. À la page 293 des éditions du Seuil, il illustre « un cas assez simple, où seule intervient une force de cisaillement ».
J'ai essayé de reproduire les différents cisaillements possibles. C'est la commande \Cisaillement[CisX=20]{\psgrid\poisson} qui réalise cet effet de cisaillement, en paramètrant l'angle d'inclinaison.
Le résultat obtenu par la commande \psTilt{70}{\psgrid\poisson} faisant partie du package \pst-3d fait exactement la même chose, dans ce cas là.
Mais on peut aussi prévoir un cisaillement suivant l'axe Oy, et même combiner les deux !
Un livre de référence : Anamorphoses : les perspectives dépravées de Jurgis Baltrušaïtis chez Flammarion et sur un plan plus ludique : Secrets des anamorphoses chez Gallimard Jeunesse.
Il s'agit d'un miroir plan incliné d'un angle
par rapport
à l'horizontale. L'image anamorphosée est posée sur la table
horizontale devant le miroir et l'observateur se place au-dessus
du miroir pour regarder l'image dans le miroir.
Le repère choisi (Oxyz) est tel que (Oxz) est le plan vertical et (Oxy) le plan horizontal avec (Oy) dirigé vers l'arrière de la feuille.
Appelons 
la droite représentant le plan du miroir dans le
plan (Oxz), son équation s'écrit :
remplit la double
condition :
1) (AA') et sont perpendiculaires.
2) Le milieu H de (AA') 
.
Mais comme il s'agit de construire l'image anamorphosée, celle que l'on va placer devant le miroir et dont le miroir rendra la forme exacte, ce sont les formules inverses qu'il faut appliquer ( zA' n'a pas d'utilité ici) :
Si l'on considère une image que l'on souhaite anamorphoser (afin de la reconstituer dans le miroir), cette image étant située dans le plan Oxy, il faudra donc appliquer les transformations suivantes à chaque point A'( xA' , yA' ) de cette image :
< 90o
L'image anamorphosée est à droite. La feuille étant posée horizontalement, une arête du miroir se place sur le ligne commune et le miroir doit être incliné de 60o avec l'horizontale vers la gauche. On regarde au-dessus, l'image observée dans le miroir doit être identique à l'image située à gauche sur le dessin.
Toute l'étude précédente, dont le schéma introductif a été fait avec pst-eucl et tout le reste avec PSTricks est ici :
Dans le cas général il suffit de découper le contour et de rabattre les triangles latéraux pour obtenir la « bonne » pyramide.
L'image anamorphosée est une « Étude de mouvement : basse-cour » de Vasarely datée de 1939.
L'étude de l'anamorphose pyramidale, faite avec PSTricks est téléchargeable ici :L'image au format .eps est assez volumineuse, mais à la place on peut faire le dessin de son choix avec PSTricks ; et si vous réalisez une belle image, n'hésitez pas à me l'envoyer ! L'image est téléchargeable ici :
Un calcul relativement simple, permet de déterminer les formules
de transformation des coordonnées cartésiennes en « coordonnées
anamorphiques ». Soit P(X,a) un point courant de (AB). L'intersection de (PF)
avec (AF') donne le point-image de coordonnées
(a1,b1) du point-objet de coordonnées (X,X).
Exemples :
Le premier dessin est la représentation en perspective d'un pavage. Le deuxième est le pavage avec des cercles et le troisième est l'anamorphose oblique du portrait de Louis XIII, que j'ai essayé de reproduire, plutôt mal que bien, d'après le schéma anamorphique du P. du Breuil (1649) donné à la page 62 du Baltrušaïtis .
Les anamorphoses cylindriques sont parmi les plus spectaculaires, ce sont celles aussi dont les calculs sont les plus compliqués...mais à PSTricks rien d'impossible !
Je donne ici, brut de brut, la première ébauche toujours avec Louis XIII. À l'intérieur du cercle se trouve l'image originale, donc celle qu'on doit observer et qui doit être l'image dans le cylindre de l'anamorphose (image déformée).
Prochainement, je développerai toutes les explications avec tous les détails nécessaires à la construction.
Pour observer l'anamorphose, il faut fabriquer un cylindre, avec du papier aluminium par exemple, de même diamètre que le cercle tracé en doubleline et le placer verticalement sur la feuille. Voici le même sujet observé de trois points de vue, disposés à 90 degrés autour du cylindre miroir et dans une position intermédiaire.
J'ai placé à l'intérieur du cylindre l'image telle qu'elle doit être vue par un observateur regardant dans le miroir cylindrique (on peut la placer à l'extérieur). L'objet anamorphique est « l'objet déformé » dont le miroir reconstituera les proportions réelles.
Objet et image obéissent aux lois de la réflexion de l'optique géométrique :L'image non déformée (celle qui est vue dans le miroir) est placée, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de l'objet anamorphique se réfléchit sur le miroir et après réflexion parvientà l'œil de notre observateur. L'observateur a l'illusion que le rayon provient du point image. Il faut donc reconstruire mathématiquement la marche d'un tel rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.
L'observateur est suffisamment éloigné du miroir pour pouvoir être considéré comme ponctuel.
Soit P un point de l'image, V l'œil de l'observateur. Traçons une droite PV et déterminons le point d'intersection I avec le cylindre : c'est le point d'incidence.
L'équation paramétrique de la droite (PV) s'écrit :
+
=
k
.
=
0
La normale a pour vecteur directeur :
( xI , yI , 0)
La deuxième par : 
tirés de la première condition
dans la deuxième :
=
Cette série de calculs doit être appliquée à tous les points de l'image « normale » afin d'obtenir l'objet anamorphique (déformé) dont le miroir « redressera » la forme.
La documentation, au format LATEX, dont tous les schémas ont été faits avec PSTricks est ici :
L'adresse de l'auteur est : warzak2002@yahoo.fr que je remercie par ailleurs, pour m'avoir signalé quelques erreurs dans la documentation.
Remi Warzak a mis en ligne son TPE consultable à l'adresse : http://membres.lycos.fr/warzak/
Aurélien et Agathe ont mis en ligne leur TPE sur l'anamorphose :
Le principe est identique à celui de l'anamorphose conique : imaginons un rayon lumineux provenant de l'objet « anamorphique », se réfléchissant sur le miroir conique et parvenant à l'œil de l'observateur placé au-dessus et dans l'axe du cône à une position suffisamment haute pour que l'observateur puisse être considéré comme ponctuel. Ainsi l'observateur aura l'illusion d'observer l'image reconstituée par le miroir conique. Image et objet sont dans le plan horizontal.
Il s'agit de déterminer en premier, l'intersection de (VP) avec le cône, qu'on appelle I (point d'incidence). Les coordonnées de V,S et P sont notées : V(0,0,ZV), S(0,0,ZS) et P(XP,YP,0).
Équation paramétrique de (AV) :
Pour construire le rayon incident (IP'), ((IV) est le rayon réfléchi) déterminons a¢.
Un raisonnement géométrique élémentaire nous montre que :
L'image d'un point situé sur l'axe du cône est indéterminée : c'est un cercle de rayon :
Tout, est évidemment à revoir, et je suis en train de reprendre l'ensemble
de tout ce qui concerne les miroirs, mais cela risque de prendre un certain temps
...
Voici le début de l'anamorphose conique où
j'ai redéfini, pour commencer, les commandes : line,
circle,
frame et arc... en attendant les autres.
